GAAL FUMEC

A Translação de Eixos no Plano

Algumas vezes é possível ocorre a escolha do eixo coordenado na qual não conduz à forma mais simples e fácil da equação. Deste modo cabe a nos a simplificar a equação através da transformação correta dos eixos. Vamos tratar então de translação de eixos.

Sendo assim consideramos este seguinte sistema quando queremos descobrir a equação simplificada ou seja que esta relacionado com nosso sistema de coordenados O, conforme a primeira figura.

$[;\begin{cases}x = x^{\prime} + h\\y = y^{\prime} + k\end{cases};]$

Para descobrirmos o X relacionado ao eixo coordenado O, devemos considerar o valor de X' que esta intimamente relacionando com o eixo coordenado O' e ser acrescido de uma constante seja ela positiva ou negativa. Do mesmo jeito funciona com os valor de Y e Y'.

obs: O mais importante é ter em mente as equações de casa representação geométrica. Sejam elas elipse, parábolas, hipérboles ou circunferências.

Exemplo 1: Determinar a equação da curva $[;2x^2 - 3y^2 - 8x + 6y = 7;]$ , depois que a origem foi transferida para o ponto $[;(2,1);]$ .

Resolução: Fazendo $[;x = x^{\prime} + h;]$ e $[;y = y^{\prime} + k;]$ , temos:
$[;2(x^{\prime} + h)^2 - 3(y^{\prime} +k)^2 - 8(x^{\prime} + h) + 6(y^{\prime} + k) = 7 \quad \Rightarrow;]$

$[;2(x^{\prime})^2 + 4x^{\prime}h +2h^2 - 3(y^{\prime})^2 - 6y^{\prime}k - 3k^2 - 8x^{\prime} - 8h + 6y^{\prime} + 6k = 7 \quad \Rightarrow;]$

$[;2(x^{\prime})^2 - 3(y^{\prime})^2 + (4h - 8)x^{\prime} + (6 - 6k)y^{\prime} + 2h^2 - 3k^2 - 8h + 6k - 7 = 0 \qquad (1);]$

Escolhemos $[;h;]$ e $[;k;]$ de modo que $[;4h - 8 = 0;]$ e $[;6 - 6k = 0;]$ , ou seja, $[;h = 2;]$ e $[;k = 1;]$ . Substituindo esses valores em $[;(1);]$ , segue que

$[;2(x^{\prime})^2 - 3(y^{\prime})^2 + 8 - 3 - 16 + 6 - 7 = 0 \quad \Rightarrow;]$

$[;2(x^{\prime})^2 - 3(y^{\prime})^2 = 12 \quad \Rightarrow \quad \frac{(x^{\prime})^2}{6} - \frac{(y^{\prime})^2}{4} = 1 \qquad (2);]$

Assim, a expressão $[;(2);]$ trata-se de uma hipérbole centrada no ponto $[;(2,1);]$ conforme a figura abaixo.